Нок и нод правила их нахождения 5 класс

Нок и нод правила их нахождения 5 класс

Разделы: Класс: #} Цель урока: показать обучающимся, что понятия наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного применимы в обычной жизни. Задачи:

1. Формирование личностных УУД посредством самооценки различных видов деятельности.
2. Повышение интереса обучающихся к предмету, активизация познавательной деятельности.
3. Формирование коммуникативных УУД (работа в группе).
4. Актуализация и обобщение знаний обучающихся по теме, рефлексия.
5. Развитие презентативных умений (презентация работы в группе).

Ход урока Приветствуем гостей. Садимся. Делители, кратные, НОКи и НОДы, Как много приходится вам изучать!

Признаки, свойства, и вечные дроби, В них можно попасть, если правил не знать! Уже целый месяц мы с вами изучаем главу “Делимость чисел”.

Запутываемся, распутываемся, и запутываемся снова.

5 класс Нод и нок (памятка ученику)

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 377 КИРОВСКОГО РАЙОНА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА Тема: «Нод и нок.

» Памятка по математике Для учеников 5 класса Кудрявцева Лилия Викторовна Д (10) = {1, 2, 5, 10} Д (15) = {1, 3, 5, 15} Д (10, 15) = {1, 5} НОД (10; 15) = 5 I способ нахождения НОК методом перебора кратных 1. Берем большее из чисел 2.

Находим числа кратные выбранному (умножая выбранное число последовательно на 1, 2, 3, 4, 5 , и тд) 3. Каждое полученное кратное проверяем делится ли оно на оставшиеся число; первое такое кратное и есть НОК.

Найти НОК 18 и 24 24•1=24 (не делится на 18) 24•2=48 (не делится на 18) 24•3=72 — делится на 18 НОК (24, 18)=72 II способ нахождения НОД через разложения на простые множители 1.

Нахождение нок и нод правило

Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b, называют наибольшим общим делителем этих чисел.

4 Заметим что не важно из первого или второго числа вычеркиваем множители, результат будет одинаков: 18 = 2 × 3 × 360 = 2 × 2 × 3 × 5 Разложим числа на простые множители: 324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 111 = 3 × 37 432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 Вычеркнуть из первого числа, множители которых нету во втором и третьем числе, получим:

5 КБ Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №18»Открытый урокпо математикев 5 классепо теме: «Нод и нок» учитель Зеленкевич Ирина Владимировна2012-2013 учебный годУрок формирования и совершенствования знаний, закрепления умений и навыков по теме: «Нод и нок»Цели:

• Сформировать понятия Нод и нок натуральных чисел.
• Сформировать умение нахождения Нод и нок натуральных чисел.

Задачи по формированию универсальных учебных действий: регулятивных: создание ситуации для постановки учебной задачи на основе знаний о делителях и кратных натуральных чисел; прогнозирования результата уровня усвоения на основе понятий делителей и кратных, Нод и нок.

> > Определив НОД(145, 45)=5 (например, по алгоритму Евклида), вычисляем НОК(145, 45)=145·45:НОД(145, 45)= 145·45:5=1 305 . Таким образом, наименьшее общее кратное отрицательных целых чисел −145 и −45 равно 1 305 .

www.cleverstudents.ru Продолжаем изучать деление.

В данном уроке мы рассмотрим такие понятия, как Нод и нок.

НОД — это наибольший общий делитель.

Чтобы хорошо понять это определение, подставим вместо переменных a и b любые два числа, например, вместо переменной a подставим число 12, а вместо переменной b число 9.

Как найти НОД

Рассмотрим два способа нахождения наибольшего общего делителя.

https://www.youtube.com/watch?v=Lkw7OMRlsLk

Первый способ заключается в нахождении наибольшего общего делителя путём разложения данных чисел на простые множители. Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно, разложить их на простые множители и перемножить между собой те из них, которые являются общими для всех данных чисел.

Пример 1. Найдём НОД (84, 90). НОД (15, 28) = 1. Второй способ (иначе его называют способом Евклида) заключается в нахождении НОД путём последовательного деления.

Сначала мы рассмотрим этот способ в применении только к двум данным числам, а затем разберёмся в том, как его применять к трём и более числам.

Нод и нок

Продолжаем изучать деление.

В данном уроке мы рассмотрим такие понятия как . НОД — это наибольший общий делитель. НОК — это наименьшее общее кратное.

Тема довольно скучная, но разобраться в ней нужно обязательно.

Например, вместо переменной a подставим число 12, а вместо переменной b — число 9.

Теперь попробуем прочитать это определение: Наибольшим общим делителем чисел 12 и 9 называется наибольшее число, на которое 12 и 9 делятся без остатка. Из определения понятно, что речь идёт об общем делителе чисел 12 и 9. Причем делитель является наибольшим из всех существующих делителей.

Задачи на Нод и нок чисел

Слайд 1 Работа ученицы 6 класса МКОУ «Камышовская ООШ» Ланциновой Айсы Руководитель Горяева Зоя Эрднигоряевна, учитель математики с.

Камышово, 2013гСлайд 2Пример нахождения НОД чисел 50, 75 и 325.

1) Разложим числа 50, 75 и 325 на простые множители. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 2) Из множителей входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнем те, которые не входят в разложение других.

50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 3) Найдём произведение оставшихся множителей 5 ∙ 5 = 25 Ответ: НОД (50, 75 и 325)= 25 Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b называют наибольшим общим делителем этих чисел.

Слайд 3Пример нахождения НОК чисел 72, 99 и 117.

1) Разложим на простые множители числа 72, 99 и 117.

72 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 99 = 3 ∙ 3 ∙ 11 117 = 3 ∙ 3 ∙13 2) Выписать множители, входящих в разложение одного из чисел 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 и добавить к ним недостающие множители остальных чисел.

Нод и нок чисел — наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное нескольких чисел

Онлайн калькулятор позволяет быстро находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное как для двух, так и для любого другого количества чисел.

Калькулятор для нахождения Нод и нок Найти Нод и нок Найдено Нод и нок: 7508

1. нажмите кнопку «Найти Нод и нок»
2. Введите числа в поле для ввода
3. В случае ввода некорректных символов поле для ввода будет подсвечено красным

1. Длина вводимых чисел не ограничена, так что найти Нод и нок длинных чисел не составит никакого труда
2. Числа вводятся через пробел, точку или запятую

Наибольший общий делитель нескольких чисел – это наибольшее натуральное целое число, на которое все исходные числа делятся без остатка. Наибольший общий делитель сокращённо записывается как НОД.

Цель урока: показать обучающимся, что понятия наибольшего общего делителя и наименьшего оC»,»word_count»:1073,»direction»:»ltr»,»total_pages»:1,»rendered_pages»:1}

Нок и нод правила их нахождения алгоритм

Эти два числа делятся на 20 без остатка:

НОД (100 и 40) = 20.

Пример 3. Найти НОД чисел 72 и 128

Раскладываем на множители число 72

Раскладываем на множители число 128

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входят две тройки (там их вообще нет). Их и вычеркнем из первого разложения:

Получили ответ 8. Значит число 8 является наибольшим общим делителем чисел 72 и 128. Эти два числа делятся на 8 без остатка:

НОД (72 и 128) = 8

Наибольший общий делитель можно находить и для нескольких чисел, а не только для двух.

Теперь перемножаем оставшиеся множители и получаем НОД:

Число 4 является наибольшим общим делителем чисел 28 и 16. Оба этих числа делятся на 4 без остатка:

Пример 2. Найти НОД чисел 100 и 40

Раскладываем на множители число 100

Раскладываем на множители число 40

Получили два разложения:

Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа.

В разложение второго числа не входит одна пятерка (там только одна пятёрка). Её и вычеркнем из первого разложения

Перемножим оставшиеся числа:

Получили ответ 20.

Значит число 20 является наибольшим общим делителем чисел 100 и 40.

Эти три числа делятся на 6 без остатка:

НОД (18, 24 и 36) = 6

Пример 2. Найти НОД для чисел 12, 24, 36 и 42

Разложим на множители число 12

Разложим на множители число 42

Получили четыре разложения:

Теперь выделим и подчеркнём общие множители в этих числах.
Общие множители должны входить во все четыре числа:

Мы видим, что общие множители для чисел 12, 24, 36, и 42 это множители 2 и 3. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:

Получили ответ 6.
Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 12, 24, 36 и 42.

Ответ:

НОК(84, 648)=4 536.

Нахождение НОК трех и большего количества чисел

Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел может быть найдено через последовательное нахождение НОК двух чисел. Напомним соответствующую теорему, дающую способ нахождения НОК трех и большего количества чисел.

Теорема.

Пусть даны целые положительные числа a1, a2, …, ak, наименьшее общее кратное mk этих чисел находится при последовательном вычислении m2=НОК(a1, a2), m3=НОК(m2, a3), …, mk=НОК(mk−1, ak).

Рассмотрим применение этой теоремы на примере нахождения наименьшего общего кратного четырех чисел.

Пример.

Найдите НОК четырех чисел 140, 9, 54 и 250.

Решение.

В этом примере a1=140, a2=9, a3=54, a4=250.

Сначала находим m2=НОК(a1, a2)=НОК(140, 9).

Если ко множителям из разложения числа a добавить недостающие множители из разложения числа b, то значение полученного произведения будет равно наименьшему общему кратному чисел a и b.

Для примера возьмем все те же числа 75 и 210, их разложения на простые множители таковы: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7. Ко множителям 3, 5 и 5 из разложения числа 75 добавляем недостающие множители 2 и 7 из разложения числа 210, получаем произведение 2·3·5·5·7, значение которого равно НОК(75, 210).

Пример.

Найдите наименьшее общее кратное чисел 84 и 648.

Решение.

Получаем сначала разложения чисел 84 и 648 на простые множители.
Они имеют вид 84=2·2·3·7 и 648=2·2·2·3·3·3·3. К множителям 2, 2, 3 и 7 из разложения числа 84 добавляем недостающие множители 2, 3, 3 и 3 из разложения числа 648, получаем произведение 2·2·2·3·3·3·3·7, которое равно 4 536.

Числа выделенные синим цветом и являются делителями. Их и выпишем:

Выписав делители, можно сразу определить какой является наибольшим и общим.

Согласно определению, наибольшим общим делителем чисел 12 и 9, является число, на которое 12 и 9 делятся без остатка.

Наибольшим и общим делителем чисел 12 и 9 является число 3

И число 12 и число 9 делятся на 3 без остатка:

12 : 3 = 4

9 : 3 = 3

Значит НОД (12 и 9) = 3

Второй способ нахождения НОД

Теперь рассмотрим второй способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, чтобы разложить оба числа на простые множители и перемножить общие из них.

Пример 1.

Найти НОД чисел 24 и 18

Сначала разложим оба числа на простые множители:

Теперь перемножим их общие множители.

Наименьшее общее кратное нескольких чисел равно произведению, которое составляется так: ко всем множителям из разложения первого числа добавляются недостающие множители из разложения второго числа, к полученным множителям добавляются недостающие множители из разложения третьего числа и так далее.

Рассмотрим пример нахождения наименьшего общего кратного с использованием разложения чисел на простые множители.

Найдите наименьшее общее кратное пяти чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Сначала получаем разложения данных чисел на простые множители: 84=2·2·3·7 , 6=2·3 , 48=2·2·2·2·3 , 7 ( 7 – простое число, оно совпадает со своим разложением на простые множители) и 143=11·13 .

Для нахождения НОК данных чисел к множителям первого числа 84 (ими являются 2 , 2 , 3 и 7 ) нужно добавить недостающие множители из разложения второго числа 6 .

Внимание

Этот наибольший общий делитель (НОД) нужно найти.Для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, используется три способа. Первый способ довольно трудоёмкий, но зато позволяет хорошо понять суть темы и прочувствовать весь ее смысл.

Второй и третий способы довольны просты и дают возможность быстро найти НОД.

Мы с вами рассмотрим все три способа. А какой применять на практике — выбирать вам.

Первый способ заключается в поиске всех возможных делителей двух чисел и в выборе наибольшего из них. Рассмотрим этот способ на следующем примере: найти наибольший общий делитель чисел 12 и 9.

Сначала найдём все возможные делители числа 12.

Для этого разделим 12 на все делители в диапазоне от 1 до 12.

Числа выделенные синим цветом и являются делителями. Их и выпишем:

Выписав делители, можно сразу определить, какой является наибольшим и общим.

Согласно определению, наибольшим общим делителем чисел 12 и 9, является число, на которое 12 и 9 делятся без остатка. Наибольшим и общим делителем чисел 12 и 9 является число 3

И число 12 и число 9 делятся на 3 без остатка:

Значит НОД (12 и 9) = 3

Наименьшее общее кратное

Число может быть кратно не одному, а сразу нескольким числам, такое число называется общим кратным данных чисел.

Пример. Числу 3 кратны числа: 6, 9, 12, 15 и т. д. Числу 4 кратны числа: 8, 12, 16, 20 и т. д. Можно заметить, что одно и тоже число (12) делится нацело сразу на оба числа 3 и 4. Следовательно, число 12 есть общее кратное чисел 3 и 4.

Общее кратное чисел – это любое число, которое делится без остатка на каждое из данных чисел.

Найти общее кратное нескольких натуральных чисел достаточно легко, можно просто перемножить данные числа, полученное произведение и будет их общим кратным.

Пример. Найти общее кратное для чисел 2, 3, 4, 6.

Решение:

2 · 3 · 4 · 6 = 144

Число 144 – общее кратное чисел 2, 3, 4 и 6.

Для любого количества натуральных чисел существует бесконечно много кратных.

Пример. Для чисел 12 и 20 кратными будут числа: 60, 120, 180, 240 и т. д. Все они являются общими кратными для чисел 12 и 20.

Наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел – это самое маленькое натуральное число, которое делится без остатка на каждое из этих чисел.

Пример. Наименьшим общим кратным чисел 3, 4 и 9 является число 36, никакое другое число меньше 36 не делится одновременно на 3, 4 и 9 без остатка.

Наименьшее общее кратное записывается так: НОК (a, b, …). Числа в круглых скобках могут быть указаны в любом порядке.

Пример. Запишем наименьшее общее кратное чисел 3, 4 и 9:

НОК (3, 4, 9) = 36

Как найти НОК

Рассмотрим два способа нахождения наименьшего общего кратного: с помощью разложения чисел на простые множители и нахождение НОК через НОД.

С помощью разложения на простые множители

Чтобы найти НОК нескольких натуральных чисел, надо разложить эти числа на простые множители, затем взять из этих разложений каждый простой множитель с наибольшим показателем степени и перемножить эти множители между собой.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 99 и 54.

Решение:

Разложим каждое из этих чисел на простые множители:

99 = 3 · 3 · 11 = 32 · 11

54 = 2 · 3 · 3 · 3 = 2 · 33

Наименьшее общее кратное должно делиться на 99, значит, в его состав должны входить все множители числа 99. Далее НОК должно делиться и на 54, т. е. в его состав должны входить множители и этого числа.

Выпишем из этих разложений каждый простой множитель с наибольшим показателем степени и перемножим эти множители между собой. Получим следующее произведение:

2 · 33 · 11 = 594

Это и есть наименьшее общее кратное данных чисел. Никакое другое число меньше 594 не делится нацело на 99 и 54.

Ответ: НОК (99, 54) = 594.

Так как взаимно простые числа не имеют одинаковых простых множителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 12 и 49.

Решение:

Разложим каждое из этих чисел на простые множители:

12 = 2 · 2 · 3 = 22 · 3
49 = 7 · 7 = 72

Применяя к этому случаю правило, мы придём к заключению, что взаимно простые числа надо просто перемножить:

22 · 3 · 72 = 12 · 49 = 980

Ответ: НОК (12, 49) = 980.

Таким же образом надо поступать, когда нужно найти наименьшее общее кратное простых чисел.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 5, 7 и 13.

Решение:

Так как данные числа являются простыми, то просто перемножим их:

5 · 7 · 13 = 455

Ответ: НОК (5, 7, 13) = 455.

Если большее из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и будет наименьшим общим кратным данных чисел.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 24, 12 и 4.

Решение:

Разложим каждое из этих чисел на простые множители:

24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 23 · 3
12 = 2 · 2 · 3 = 22 · 3
4 = 2 · 2 = 22

Можно заметить, что разложение большего числа содержит все множители остальных чисел, значит большее из этих чисел делится на все остальные числа (в том числе и само на себя) и является наименьшим общим кратным:

23 · 3 = 24

Ответ: НОК (24, 12, 4) = 24.

Нахождение НОК через НОД

НОК двух натуральных чисел равно произведению этих чисел, поделённого на их НОД.

Правило в общем виде:

НОК (m, n) = m · n : НОД (m, n)

Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 99 и 54.

Решение:

Сначала находим их наибольший общий делитель:

НОД (99, 54) = 9.

Теперь мы можем вычислить НОК этих чисел по формуле:

НОК (99, 54) = 99 · 54 : НОД (99, 54) = 5346 : 9 = 594

Ответ: НОК (99, 54) = 594.

Чтобы найти НОК трёх или более чисел используется следующий порядок действий:

1. Находят НОК любых двух из данных чисел.
2. Затем находят наименьшее общее кратное найденного НОК и третьего числа и т. д.
3. Таким образом поиск НОК продолжается до тех пор, пока есть числа.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 8, 12 и 9.

Решение:

Сначала находим наибольший общий делитель любых двух из этих чисел, например, 12 и 8:

НОД (12, 8) = 4.

Вычисляем их НОК по формуле:

НОК (12, 8) = 12 · 8 : НОД (12, 8) = 96 : 4 = 24

Теперь найдём НОК числа 24 и оставшегося числа 9. Их НОД:

НОД (24, 9) = 3.

Вычисляем НОК по формуле:

НОК (24, 9) = 24 · 9 : НОД (24, 9) = 216 : 3 = 72

Ответ: НОК (8, 12, 9) = 72.

Открытый урок по математике для 5 класса «НОД и НОК» методическая разработка по алгебре (5 класс) по теме

Обучение навыкам контроля в форме сличения результата самостоятельной работы с решением заданий на доске с целью обнаружения отклонений и отличий от образца, оценки того, что уже усвоено и что ещё подлежит усвоению по теме; познавательных: обучение умению самостоятельно выделять и формулировать познавательную цель, поиску и выделению необходимой информации с помощью самостоятельной работы и вопросов учителя.

Совершенствовать умение осознанно и произвольно строить высказывание в устной и письменной форме, анализировать объекты с целью выделения существенных признаков для составления алгоритма, обучение умению выдвигать гипотезу; коммуникативных: моделирование ситуации коллективного обсуждения проблем, обучение умению слушать вступать в диалог. Развитие монологической и диалогической речи.План урока.Организационный момент.Целеполагание.Актуализация знаний.Изучение

5-6 класс решение текстовых задач с помощью нок и нод чисел

21=3*7; 44=2*2*11.

Через сколько времени автобусы снова встретятся на этой площади? Решение : Найдем НОК(48;72). 48=2*2*2*2*3, 72=2*2*2*3*3, НОК(48;72)=2*2*2*2*З*З=144(минуты). 144 минуты =2часа24 минуты. Ответ: автобусы снова встретятся на этой площади через 2 часа 24 минуты.

№6. Саша ходит в бассейн один раз в три дня, а Вася один раз в четыре дня, Ваня-в5 дней.

Задачи на НОД и НОК чисел

Найдите произведение получившихся множителей.

2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Ответ: НОК ( 72, 99 и 117 ) = 10296 Наименьшим общим кратным натуральных чисел a и b называют наименьшее натуральное число, которое кратно a и b .Слайд 4Лист картона имеет форму прямоугольника, длина которого 48 см., а ширина 40 см.

Этот лист надо разрезать без отходов на равные квадраты.

Какие наибольшие квадраты можно получить из этого листа и сколько? Решение: 1) S = a ∙ b – площадь прямоугольника. S= 48 ∙ 40 = 1960 см ² . – площадь картона.

2) a – сторона квадрата 48 : a – число квадратов, которое можно уложить по длине картона. 40 : а – число квадратов, которое можно уложить по ширине картона. 3) НОД (40 и 48) = 8(см) – сторона квадрата.

4) S = a² – площадь одного квадрата. S = 8² = 64 ( см ² .) – площадь одного квадрата.

5) 1960 : 64 = 30 (количество квадратов).

Из определения понятно, что речь идёт об общем делителе чисел 12 и 9, причем этот делитель является наибольшим из всех существующих делителей.

Для этого мы выписали разложение первого числа и дописали туда множители из второго разложения, которых не было в первом разложении. В результате получили новое разложение 3 × 3 × 2 × 2.

Нетрудно увидеть воочию, что в него одновременно входят разложение числа 9 и разложение числа 12 Пример 2.

Найти НОК чисел 50 и 180 Разложим на множители число 50 Разложим на множители число 180 Выпишем первое разложение: Теперь допишем множители из второго разложения, которых нет первом разложении.

В первом разложении нет ещё одной двойки и двух троек. Их и допишем: Теперь перемножаем эти множители: Получили ответ 900.

5 класс НОД и НОК (памятка ученику)

Найти НОД 48 и 36.

НОД (48; 36) = 2 • 2 • 3 = 12 II способ нахождения НОК через разложения на простые множители 1. Разложить на простые множители каждое число; 2.

Выписать все множители из разложения одного любого числа; 3.

Добавить к ним недостающие множители из разложения другого числа; 4.

Найти произведение получившихся множителей.

Конспект

Ключевые слова конспекта: Натуральные числа. Арифметические действия над натуральными числами. Делимость натуральных чисел. Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители. Признаки делимости на 2,  3,  5,  9,  4,  25,  10, 11. Наибольший общий делитель (НОД), а также наименьшее общее кратное (НОК). Деление с остатком.

Множество натуральных чисел обозначают N. Запись «3 ∈ N» означает, что число три принадлежит множеству натуральных чисел, а запись «0 ∉ N» означает, что число нуль не принадлежит этому множеству.

Десятичная система счисления — позиционная система счисления по основанию 10.

Арифметические действия над натуральными числами

Для натуральных чисел определены следующие действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня.  Первые четыре действия являются арифметическими.

Пусть a, b и c — натуральные числа, тогда

1. СЛОЖЕНИЕ. Слагаемое + Слагаемое = Сумма

Свойства сложения1. Переместительное а + b = b + а.2. Сочетательное а + (b + с) = (а + b) + с.

3. а + 0= 0 + а = а.

2. ВЫЧИТАНИЕ. Уменьшаемое — Вычитаемое = Разность

Свойства вычитания1. Вычитание суммы из числа а — (b + с) = а — b — с.2. Вычитание числа из суммы  (а + b) — с = а + (b — с);   (а + b) — с = (а — с) + b.3. а — 0 = а.

4. а — а = 0.

3. УМНОЖЕНИЕ. Множитель * Множитель = Произведение

Свойства умножения1. Переместительное а*b = b*а.2. Сочетательное а*(b*с) = (а*b)*с.3. 1 * а = а * 1 = а.4. 0 * а = а * 0 = 0.

5. Распределительное (а + b) * с = ас + bс;   (а — b) * с = ас — bс.

4. ДЕЛЕНИЕ. Делимое : Делитель = Частное

Свойства деления1. а : 1 = а.

2. а : а = 1.   Делить на ноль нельзя!

3. 0 : а= 0.

Порядок действий

1. Прежде всего действия в скобках.2. Потом умножение, деление.

3. И только в конце сложение, вычитание.

Делимость натуральных чисел. Простые и составные числа.

Делителем натурального числа а называется натуральное число, на которое а делится без остатка. Число 1 является делителем любого натурального числа.

Натуральное число называется простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число. Например, числа 2, 3, 11, 23 — простые числа.

Число, имеющее более двух делителей, называется составным. Например, числа 4, 8, 15, 27 — составные числа.

Признак делимостипроизведения нескольких чисел: если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число. Произведение 24 • 15 • 77 делится на 12, поскольку множитель этого числа 24 делится на 12.

Признак делимости суммы (разности) чисел: если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число. Если а : b и c : b, то (а + c) : b. А если а : b, а c не делится на b, то a + c не делится на число b.

Представление числа в виде произведения степеней простых чисел называют разложением числа на простые множители.

Основная теорема арифметики: любое натуральное число (кроме 1) либо является простым, либо его можно разложить на простые множители только одним способом

При разложении числа на простые множители используют признаки делимости и применяют запись «столбиком» В таком случае делитель располагается справа от вертикальной черты, а частное записывают под делимым.

Например, задание: разложить на простые множители число 330. Решение:

Признаки делимости  на  2,  5,  3,  9,  10,  4,  25  и  11.

Существуют признаки делимости на 6, 15, 45 и т. д., то есть на числа, произведение которых можно разложить на множители 2, 3, 5, 9 и 10.

Наибольший общий делитель 

Наибольшее натуральное число, на которое делится нацело каждое из двух данных натуральных чисел, называется наибольшим общим делителем этих чисел (НОД).   Например, НОД (10; 25) = 5;   а НОД (18; 24) = 6;    НОД (7; 21) = 1.

Если наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен 1, то эти числа называются взаимно простыми

Алгоритм нахождения наибольшего общего делителя (НОД)

НОД часто используется в задачах. Например, между учениками одного класса поделили поровну 155 тетрадей и 62 ручки.

Сколько учеников в этом классе?

Решение: Нахождение количества учащихся этого класса сводится к нахождению наибольшего общего делителя чисел 155 и 62, поскольку тетради и ручки поделили поровну.  155 = 5 • 31; 62 = 2 • 31. НОД (155; 62) = 31.

Ответ: 31 ученик в классе. 

Наименьшее общее кратное

Кратным натурального числа а называется натуральное число, которое делится на а без остатка. Например, число 8 имеет кратные: 8, 16, 24, 32, …  Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных.

 Наименьшее общее кратное (НОК) называется наименьшее натуральное число, которое кратно этим числам.

Алгоритм нахождения наименьшего общего кратного (НОК):

НОК также часто применяется в задачах. Например, два велосипедиста одновременно стартовали по велотреку в одном направлении. Один делает круг за 1 мин, а другой — за 45 с.

Через какое наименьшее количество минут после начала движения они встретятся на старте?

Решение: Количество минут, через которое они снова встретятся на старте, должно делиться на 1 мин,, а также на 45 с. В 1 мин = 60 с. То есть необходимо найти НОК (45; 60).

45 = 32 • 5;
60 = 22 • 3 • 5.
НОК (45; 60) = 22 • 32 • 5 = 4 • 9 • 5 = 180.
В результате получается, что велосипедисты встретятся на старте через 180 с = 3 мин.

 Ответ: 3 мин.

Деление с остатком

Если натуральное число а не делится нацело на натуральное число b, то можно выполнить деление с остатком. В таком случае полученное частное называется неполным. Справедливо равенство:

 а = b • n + r,

где а — делимое, b — делитель, n — неполное частное, r — остаток. Например, пусть делимое равно 243, делитель — 4, тогда 243 : 4 = 60 (остаток 3). То есть а = 243, b = 4, n = 60, r = 3, тогда 243 = 60 • 4 + 3.

Числа, которые делятся на 2 без остатка, называются четными: а = 2n, n ∈ N.

Остальные числа называются нечетными: b = 2n + 1, n ∈ N.

Это конспект по теме «Натуральные числа. Признаки делимости». Чтобы продолжить, выберите дальнейшие действия: